Răspuns:
a) Folosind proprietățile logaritmilor se obține
[tex]\lg\sqrt{xy}\le\lg\frac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}[/tex], inegalitate adevărată
b) Avem [tex]y=1-x[/tex]. Atunci inegalitatea devine succesiv
[tex]\x\lg x+(1-x)\lg(1-x)\ge\frac{1}{2}\lg x+\frac{1}{2}\lg(1-x)[/tex]
[tex]x\lg x+\lg(1-x)-x\lg(1-x)-\frac{1}{2}\lg x-\frac{1}{2}\lg(1-x)\ge 0[/tex]
[tex]\displaystyle\left(x-\frac{1}{2}\right)(\lg x-\lg(1-x))\ge 0[/tex]
Dacă [tex]x\in\left(0,\displaystyle\frac{1}{2}\right)[/tex] atunci ambele paranteze sunt negative, deci produsul lor este pozitiv.
Dacă [tex]x\in\left[\displaystyle\frac{1}{2},1\right)[/tex] atunci ambele paranteze sunt pozitive, deci produsul este pozitiv.
Deci inegalitatea este adevărată.
Explicație pas cu pas:
