Răspuns:
a) Relația de recurență se mai scrie
[tex]x_n=\displaystyle\frac{1}{2}x_{n-1}+1[/tex]
Atunci
[tex]b_n=x_n-x_{n-1}=\frac{1}{2}x_{n-1}+1-x_{n-1}=1-\frac{1}{2}x_{n-1}[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1-\frac{1}{2}x_n}{1-\frac{1}{2}x_{n-1}}=\frac{1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x_{n-1}+1\right)}{1-\frac{1}{2}x_{n-1}}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}x_{n-1}\right)}{1-\frac{1}{2}x_{n-1}}=\frac{1}{2}[/tex]
Deci
[tex]b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n, \ \forall n\in\mathbb{N^*}[/tex]
adică [tex]b_n[/tex] este progresie geometrică cu rația [tex]\frac{1}{2}[/tex].
b) Avem [tex]b_1=x_1-x_0=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]b_1+b_2+\ldots+b_n=x_1-x_0+x_2-x_1+\ldots+x_n-x_{n-1}=x_n-x_0=x_n-1[/tex]
Dar
[tex]b_1+b_2+\ldots+b_n=b_1\cdot\displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}[/tex]
Rezultă
[tex]x_n=2-\displaystyle\frac{1}{2^n}=\frac{2^{n+1}-1}{2^n}[/tex]
Explicație pas cu pas:
