Răspuns:
Funcția trebuie să verifice relația de morfism
[tex]f(x\cdot y)=f(x)*f(y), \ \forall x,y\in\mathbb{R}^*[/tex]
și să fie bijectivă.
Din relația de morfism se obține
[tex]xy+m=(x+m)(y+m)-3(x+m)-3(y+m)+12\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow (m-3)(x+y)+(m-3)(m-4)=0, \ \forall x,y\in\mathbb{R}^*\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow (m-3)(x+y+m-4)=0, \ \forall x,y\in\mathbb{R}^*[/tex]
Rezultă [tex]m=3[/tex]
Atunci [tex]f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}-\{3\}, \ f(x)=x+3[/tex].
Fie [tex]y\in\mathbb{R}-\{3\}[/tex] și ecuația [tex]f(x)=y[/tex].
Rezultă [tex]x=y-3\ne 0\Rightarrow x\in\mathbb{R}^*[/tex], deci ecuația are o singură soluție. Rezultă că funcția este bijectivă.
Explicație pas cu pas:
