Răspuns:
Pentru a răspunde la 224, se folosesc rezultatele de la 222, 223.
Mai întâi
[tex]x_n=\displaystyle\left(2+\sqrt{3}\right)^n=C_n^02^n+C_n^22^{n-2}\cdot 3+C_n^{n-4}2^{n-4}\cdot 3^2+\ldots+\\+\left(C_n^12^{n-1}+C_n^{n-3}2^{n-3}+\ldots\right)\sqrt{3}[/tex]
Rezultă
[tex]a_n=C_n^02^n+C_n^22^{n-2}\cdot 3+C_n^{n-4}\cdot 3^2+\ldots\\b_n=C_n^12^{n-1}+C_n^{n-3}+\ldots[/tex]
Deci răspunsul la 222 este B.
Se observă că [tex]a_n-b_n\sqrt{3}=\left(2-\sqrt{3}\right)^n[/tex]
Atunci
[tex]a_n^2-3b_n^2=\left(a_n-b_n\sqrt{3}\right)\left(a_n+b_n\sqrt{3}\right)=\left(2-\sqrt{3}\right)^n\left(2+\sqrt{3}\right)^n=\\=\left[\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)\right]^n=1[/tex]
Deci răspunsul la 223 este B.
Ecuația se mai scrie
[tex]\left(x-y\sqrt{3}\right)\left(x+y\sqrt{3}\right)=1[/tex]
Ținând cont de 223, rezultă [tex]x=a_n, \ y=b_n, \ \forall n\in\mathbb{N}[/tex].
Deci sunt o infinitate de soluții.
Explicație pas cu pas:
