Răspuns:
x = 24, y = 40
Explicație pas cu pas:
[tex]3x + 5y = 272[/tex]
[tex][x,y] = 15 \cdot (x,y)[/tex]
știm că:
[tex](x,y) \cdot [x,y] = x \cdot y[/tex]
[tex](x,y) \cdot 15 \cdot (x,y) = x \cdot y[/tex]
[tex]15 \cdot {((x,y))}^{2} = x \cdot y[/tex]
notăm:
[tex](x,y) = d[/tex]
atunci:
[tex]x = m \cdot d \ \ si \ \ y = n \cdot d, unde \ \ (m,n) = 1 \\ [/tex]
ecuația devine:
[tex]15 \cdot {d}^{2} = (m \cdot d) \cdot (n \cdot d) \\ \iff 15 \cdot {d}^{2} = m \cdot n \cdot {d}^{2} \\ \implies 15 = m \cdot n[/tex]
- m = 1, n = 15 => x = d, y = 15d
3d + 5×15d = 272
3d + 75d = 272
78d = 272 => d ∉ N
- m = 3, n = 5 => x = 3d, y = 5d
3×3d + 5×5d = 272
9d + 25d = 272
34d ÷ 272 => d = 8
=>
x = 3×8 => x = 24
y = 5×8 => y = 40
- m = 5, n = 3 => x = 5d, y = 3d
3×5d + 5×3d = 272
15d + 15d = 272
30d = 272 => d ∉ N
- m = 15, n = 1 => x = 15d, y = d
3×15d + 5×d = 272
45d + 5d = 272
50d = 272 => d ∉ N
