Explicație pas cu pas:
ΔABC dreptunghic, ∢A = 90°, AB = 6 cm,
GM = 2 cm, G este centrul de greutate
M este mijlocul laturii BC => BM ≡ MC
În orice triunghi, centrul de greutate G este situat pe oricare dintre mediane la 2/3 faţă de vârf şi la 1/3 faţă de bază (latura corespunzatoare medianei)
[tex]GM = \frac{1}{3} \cdot AM => AM = 6 cm \\ [/tex]
AM ≡ BM ≡ MC = 6 cm
BC = 12 cm
T.P.: AC² = BC² - AB² = 144 - 36 = 108
[tex]=> AC = 6 \sqrt{3} \: cm[/tex]
[tex]P_{ABC} = AB + BC + AC = 6 + 12 + 6 \sqrt{3} \\ = 18 + 6 \sqrt{3} = 6(3 + \sqrt{3} ) \: cm[/tex]
notăm cu N mijlocul catetei AC
[tex]AN = NC = 3 \sqrt{3} \: cm[/tex]
T.P. în ΔBAN dreptunghic:
BN² = AB² + AN² = 36 + 27 = 63
[tex]=> BN = \sqrt{63} = 3 \sqrt{7} \: cm[/tex]
[tex]BG = \frac{2}{3}\cdot BN = \frac{2 \times 3 \sqrt{7} }{3} = > BG = 2 \sqrt{7} \: cm \\ [/tex]
AB = AM = BM = 6 cm => ΔABM este echilateral
[tex]Aria_{ABM} = \frac{ {AB}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{ {6}^{2} \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \: {cm}^{2} \\ [/tex]
[tex]Aria_{BGM} = \frac{1}{3} Aria_{ABM} = \frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3 \sqrt{3} \: {cm}^{2} \\ [/tex]
notăm cu P înălțimea dusă din M la GB: MP ⊥ GB
[tex]Aria_{BGM} = \frac{MP \times BG}{2} = > MP = \frac{2Aria_{AGM}}{BG} \\ [/tex]
[tex]MP = \frac{2\cdot 3 \sqrt{3} }{2 \sqrt{7} } = > MP = \frac{3 \sqrt{21} }{7} \: cm \\ [/tex]
