👤
a fost răspuns

Se consideră matricele [tex]$A(a)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a\end{array}\right)$[/tex] şi [tex]$B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$[/tex], unde [tex]$a$[/tex] este număr real.

1. Arătaţi că [tex]$\operatorname{det}(A(1))=-5$[/tex].

2. Determinaţi numerele reale [tex]$a$[/tex], ştiind că [tex]$\operatorname{det}(a A(a))=0$[/tex].

3. Arătaţi că [tex]$\operatorname{det}(A(a) \cdot B-B \cdot A(a))=-9$[/tex], pentru orice număr real [tex]$a$[/tex]

4. Demonstrați că [tex]$A(a-1)+A(a+1)=2 A(a)$[tex], pentru orice număr real [tex]$a$[/tex].

5. Determinaţi numărul real [tex]$a$[/tex], știind că [tex]$\operatorname{det}(A(a)+B)=a$[/tex].

6. Determinaţi numărul natural nenul [tex]$n$[/tex] pentru care [tex]$A(1)+A(2)+\ldots+A(n)=11 A(6)$[/tex].

Răspuns :

[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a\end{array}\right)[/tex]

[tex]B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)[/tex]

1)

Calculam det(A(1)), inlocuim pe a cu 1 si facem diferenta dintre produsul diagonalelor

det(A(1))=1×1-2×3=1-6=-5

2)

det(A(a))=0

a-6=0

a=6

3)

det(A(a)·B-B·A(a))=-9

[tex]A(a)\cdot B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 3 &3+a\end{array}\right)\\\\[/tex]

[tex]B\cdot A(a)= \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}4 & 2+a \\ 3 &a\end{array}\right)\\\\[/tex]

[tex]A(a)\cdot B-B\cdot A(a)=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 3 &3+a\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}4 & 2+a \\ 3 &a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}-3 & 1-a \\ 0 &3\end{array}\right)\\\\[/tex]

[tex]\left|\begin{array}{ll}-3 & 1-a \\ 0 &3\end{array}\right|=-9-0=-9[/tex]

4)

[tex]A(a-1)+A(a+1)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 6 & 2a\end{array}\right)=2A(a)[/tex]

5)

det(A(a)+B)=a

[tex]A(a)+B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & a+1\end{array}\right)\\\\\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & a+1\end{array}\right|=2a+2-9\\\\2a-7=a\\\\a=7[/tex]

6)

[tex]A(1)+A(2)+...+A(n)=\left(\begin{array}{ll}n & 2n \\ 3n &\frac{n(n+1)}{2} \end{array}\right)=11A(6)\\\\\left(\begin{array}{ll}n & 2n \\ 3n &\frac{n(n+1)}{2} \end{array}\right)=11\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 &6 \end{array}\right)[/tex]

n=11

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919130

#BAC2022

#SPJ4

Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!


Ze Learners: Alte intrebari