[tex]f(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^{2}+3}}[/tex]
a)
Vezi tabelul de derivate din atasament
[tex]f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}-(x-3)\frac{x}{\sqrt{x^2+3} } }{x^2+3} =\frac{x^2+3-x^2+3x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} } =\frac{3(1+x)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} }[/tex]
b)
[tex]\lim_{x \to +\infty} (\frac{x-3}{\sqrt{x^2+3} } )^x= \lim_{x \to +\infty} (\frac{(x-3)^2}{x^2+3 } )^{\frac{x}{2}} \\\\ \lim_{x \to +\infty} (\frac{x^2-6x+9}{x^2+3} )^{\frac{x}{2} }= \lim_{x \to +\infty} (1+\frac{6-6x}{x^2+3} )^{\frac{x}{2}}= \\\\= \lim_{x \to +\infty} [(1+\frac{6-6x}{x^2+3} )^{\frac{x^2+3}{6-6x}] ^{\frac{x}{2}\cdot \frac{6-6x}{x^2+3}}}=e^{ \lim_{x \to+ \infty} \frac{-6x^2+6x}{2x^2+6} }}=e^{-3}[/tex]
Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului, limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari
c)
Monotonia functiei f
f'(x)=0
3(x+1)=0
x+1=0
x=-1
Tabel semn
x -∞ -1 +∞
f'(x)- - - - - - - - - 0 + + + + + +
f(x) ↓ f(-1) ↑
-2
f este crescatoare pe [-1,+∞) si descrescatoare pe (-∞,-1]
f(-1)=-2
f(x)≥-2
[tex]\frac{x-3}{\sqrt{x^{2}+3}}\geq -2\\\\x-3\geq -2\sqrt{x^2+3}\\\\x+ 2\sqrt{x^2+3}\geq 3\\\\\\Daca \ x=y^5\\\\Avem\ y^5+2\sqrt{y^{10}+3}\geq 3[/tex]
Un alt exercitiu cu limite gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919072
#BAC2022
#SPJ4
