👤
a fost răspuns

Se consideră matricele [tex]$O_{3}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right), I_{3}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$[/tex] şi [tex]$A(a)=\left(\begin{array}{lll}1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$[/tex], unde [tex]$a$[/tex] este număr real.

5p a) Arătaţi că det [tex]$(A(a))=1$[/tex], pentru orice număr real [tex]$a$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] b) Se consideră matricea [tex]$B(a)=A(a)-I_{3}$[/tex], unde [tex]$a$[/tex] este număr real. Demonstraţi că, pentru orice număr real [tex]$a, B(a) \cdot B(a) \cdot B(a)=O_{3}$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Determinați numărul natural nenul [tex]$n$[/tex], știind că suma elementelor matricei [tex]$X$[/tex] pentru care [tex]$A(2) \cdot X=A(1)+A(2)+\ldots+A(n)$[/tex] este egală cu 21 .

Răspuns :

[tex]A(a)=\left(\begin{array}{lll}1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)[/tex]

a)

Calculam det(A(1)), inlocuim pe a cu 1 si adaugam primele doua linii ale determinantului

[tex]det(A(1))=\left|\begin{array}{lll}1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|[/tex]

                      1    a   0

                      0   1    a

det(A(1))=(1+0+0)-(0+0+0)=1

b)

[tex]B(a)=\left(\begin{array}{lll}0& a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)[/tex]

[tex]B(a)\cdot B(a)=\left(\begin{array}{lll}0& a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{lll}0& a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}0& 0 & a^2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\\\\[/tex]

[tex]B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=\left(\begin{array}{lll}0& a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{lll}0& 0 & a^2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)=O_3[/tex]

c)

[tex]Fie\ M=A(1)+A(2)+...+A(n)=\left(\begin{array}{lll}n & \frac{n(n+1)}{2} & 0 \\ 0 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 0 & n\end{array}\right)[/tex]

[tex]X=A(2)^{-1}\cdot M[/tex]

Calculam det(A(2))

det(A(2))=1

[tex]A(2)^t=\left(\begin{array}{lll}1 & 0& 0 \\ 2& 1 & 0 \\ 0 &2 & 1\end{array}\right)[/tex]

[tex]A(2)^*=\left(\begin{array}{lll}1 & -2& 4 \\ 0& 1 & -2 \\ 0 &0 & 1\end{array}\right)[/tex]

[tex]A(2)^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & -2& 4 \\ 0& 1 & -2 \\ 0 &0 & 1\end{array}\right)[/tex]

[tex]X=\left(\begin{array}{lll}1 & -2& 4 \\ 0& 1 & -2 \\ 0 &0 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{lll}n & \frac{n(n+1)}{2} & 0 \\ 0 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 0 & n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}n & \frac{n(n+1)}{2} -2n& -n(n+1) +4n\\ 0& n & \frac{n(n+1)}{2} -2n \\ 0 &0 & n\end{array}\right)[/tex]

Suma elementelor matricei X este egala cu 21

3n=21

n=7

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919076

#BAC2022

#SPJ4

Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!


Ze Learners: Alte intrebari