👤
a fost răspuns

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compozitiie asociativă [tex]$x \circ y=\frac{1}{3} x y+x+y$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Demonstrați că [tex]$x \circ y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$[/tex], pentru orice numere reale [tex]x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex].

5p b) Se consideră funcția [tex]$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3 x-3$[/tex]. Arătați că [tex]$f(x y)=f(x) \circ f(y)$[/tex], pentru orice numere reale [tex]$x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex]

[tex]$5 p$[/tex] c) Demonstrați că [tex]$x_{1} \circ x_{2} \circ \ldots \circ x_{n}=\frac{\left(x_{1}+3\right)\left(x_{2}+3\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{n}+3\right)-3^{n}}{3^{n-1}}$[/tex], pentru orice [tex]$n \in \mathbb{N}, n \geq 2$[/tex] şi orice numere reale [tex]$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}$[/tex] și [tex]$x_{n}$[/tex].

Răspuns :

[tex]x \circ y=\frac{1}{3} x y+x+y[/tex]

a)

[tex]\frac{1}{3} x y+x+y+3-3=\frac{x}{3}(y+3)+(y+3)-3=(y+3)(\frac{x}{3}+1)-3=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3[/tex]

b)

f(x)=3x-3

f(xy)=3xy-3

[tex]f(x)\circ f(y)=\frac{1}{3}(3x-3)(3y-3)+3x-3+3y-3=3xy-3x-3y+3+3x-6+3y=3xy-3=f(xy)[/tex]

c)

[tex]x_1\circ x_2\circ x_3=\frac{1}{3} [\frac{1}{3}(x_1+3)(x_2+3)-3 +3](x_3+3)-3=\frac{1}{9}(x_1+3)(x_2+3)(x_3+3)-3[/tex]

De aici deducem ca:

[tex]x_1\circ x_2\circ x_3\circ . . .\circ x_n=\frac{1}{3^{n-1}} (x_1+3)(x_2+3)(x_3+3)...(x_n+3)-3[/tex]

[tex]x_1\circ x_2\circ x_3\circ . . .\circ x_n=\frac{1}{3^{n-1}} (x_1+3)(x_2+3)(x_3+3)...(x_n+3)-3=\\\\=\frac{(x_1+3)(x_2+3)(x_3+3)...(x_n+3)-3^n}{3^{n-1}}[/tex]

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918884

#BAC2022

#SPJ4

Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!


Ze Learners: Alte intrebari