👤

Se consideră funcția [tex]$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\ln \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$[/tex].

a) Arătați că [tex]$f^{\prime}(x)=\frac{2(x-1)(x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}, x \in \mathbb{R}$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre [tex]$-\infty$[/tex] la graficul funcției [tex]$f$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex]c) Calculatii [tex]$\lim _{n \rightarrow+\infty}(f(1)+f(2)+\ldots+f(n)+2 \ln n)$[/tex].


Răspuns :

[tex]f(x)=\ln \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}[/tex]

a)

Vezi tabel derivate in atasament

[tex]f'(x)=\frac{\frac{(2x-1)(x^2+x+1)-(2x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+x+1)^2} }{\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} } =\\\\f'(x)=\frac{2x^2-2}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} =\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}[/tex]

b)

Asimptota orizontala

Calculam limita spre -∞

[tex]\lim_{x \to -\infty} ln\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=ln1=0[/tex]

Cand gradul numitorului este egal cu gradul numaratorului, atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

c)

[tex]f(1)+f(2)+...+f(n)+2lnn=ln\frac{1}{3} +ln\frac{3}{7}+ln\frac{7}{13} +...+ln\frac{n^2-n+1}{n^2+n+1} +lnn^2\\\\=ln\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7}\cdot \frac{7}{13}\cdot ...\cdot \frac{n^2-n+1}{n^2+n+1} +lnn^2=ln\frac{1}{n^2+n+1} +lnn^2=ln\frac{n^2}{n^2+n+1}[/tex]

[tex]\lim_{n \to +\infty} ln\frac{n^2}{n^2+n+1} =ln1=0[/tex]

Cand gradul numitorului este egal cu gradul numaratorului, atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905550

#BAC2022

#SPJ4

Vezi imaginea ANDREEAP
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!


Ze Learners: Alte intrebari