Explicație pas cu pas:
[tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = - x^{3} + 3x + 9[/tex]
a)
[tex]f^{\prime}(x) = \left(- x^{3} + 3x + 9 \right)^{\prime}[/tex]
[tex]= - \left(x^{3}\right)^{\prime} +3\left(x\right)^{\prime} + 9^{\prime} \\ [/tex]
[tex]= - 3 {x}^{2} + 3[/tex]
[tex]= 3(1 - {x}^{2})[/tex]
[tex]= 3(1 - x)(1 + x)[/tex]
b)
[tex]\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-7}{x-2} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{- x^{3} + 3x + 9 - 7}{x-2} \\[/tex]
[tex]= \lim _{x \rightarrow 2} \frac{- x^{3} + 3x + 2}{x-2} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{-(x - 2)( {x}^{2} + 2x + 1)}{x-2} \\[/tex]
[tex]= \lim _{x \rightarrow 2} \left( - {(x + 1)}^{2} \right) = - {3}^{2} = - 9 \\ [/tex]
c)
[tex]f^{\prime}(x) = 0 = > 3(1 - x)(1 + x)[/tex]
[tex]1 - x = 0 = > x = 1 \\ 1 + x = 0 = > x = - 1[/tex]
[tex]f( - 1) = - ( - 1)^{3} + 3( - 1) + 9 = 1 - 3 + 9 = 7 \\ [/tex]
[tex]f(1) = - {1}^{3} + 3 \times 1 + 9 = - 1 + 3 + 9 = 11 \\[/tex]
f(x) este crescătoare pe intervalul:
[tex] - \infty < x \leqslant - 1[/tex]
f(x) este descrescătoare pe intervalul:
[tex] - 1 \leqslant x \leqslant 1[/tex]
f(x) este crescătoare pe intervalul:
[tex]1 \leqslant x < + \infty [/tex]
[tex] = > f(x) \leq 11, \\ pentru \: orice \: x \in[-1,+\infty)[/tex]
