👤
a fost răspuns

Se consideră matricele [tex]$A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & x \\ 3 & 0\end{array}\right)$[/tex] şi [tex]$C=\left(\begin{array}{ll}x & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$[/tex], unde [tex]$x$[/tex] este număr real.

5p 1. Arătați că det [tex]$A=2$[/tex].

5 2 2. Determinați numărul real [tex]$x$[/tex] pentru care [tex]$B+C=A$[/tex].

5p 3. Determinați numărul real [tex]$x$[/tex] pentru care [tex]$\operatorname{det}(B-C)=0$[/tex].

5p 4. Demonstrați că [tex]$\operatorname{det}(B \cdot C-C \cdot B)=3 x(x-1)^{2}$[/tex], pentru orice număr real [tex]$x$[/tex].

5p 5. Pentru [tex]$x=1$[/tex], arătați că inversa matricei [tex]$B$[/tex] este matricea [tex]$\left(\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{3} \\ 1 & -\frac{2}{3}\end{array}\right) .$[/tex]

5p 6. Pentru [tex]$x=1$[/tex], rezolvați în [tex]$\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$[/tex] ecuaţia [tex]$B \cdot X \cdot C=A$[/tex].

Răspuns :

[tex]A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)[/tex]

[tex]B=\left(\begin{array}{ll}2 & x \\ 3 & 0\end{array}\right)[/tex]

[tex]C=\left(\begin{array}{ll}x & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)[/tex]

1)

Calculam detA, facand diferenta dintre produsul diagonalelor

[tex]detA=\left|\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right|=2-0=1[/tex]

2)

B+C=A

[tex]\left(\begin{array}{ll}2 & x \\ 3 & 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}x & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ll}2+x & x \\ 3 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)[/tex]

2+x=2

x=0

3)

det(B-C)=0

[tex]\left(\begin{array}{ll}2 & x \\ 3 & 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}x & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2-x & x \\ 3 & -1\end{array}\right)\\\\\left|\begin{array}{ll}2-x & x \\ 3 & -1\end{array}\right|=0[/tex]

-(2-x)-3x=0

-2+x-3x=0

-2-2x=0

2x=-2

x=-1

4)

det(BC-CB)=3x(x-1)²

[tex]B\cdot C=\left(\begin{array}{ll}2 & x \\ 3 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ll}x & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2x & x \\ 3x& 0\end{array}\right)[/tex]

[tex]C\cdot B=\left(\begin{array}{ll}x & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}2 & x \\ 3 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2x & x^2 \\ 3& 0\end{array}\right)[/tex]

[tex]BC-CB=\left(\begin{array}{ll}2x & x \\ 3x& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}2x & x^2 \\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 &x- x^2 \\ 3x-3& 0\end{array}\right)[/tex]

[tex]\left|\begin{array}{ll}0 &x- x^2 \\ 3x-3& 0\end{array}\right|=0-(x-x^2)(3x-3)=-3x(1-x)(x-1)=3x(x-1)^2[/tex]

5)

x=1

Inversa unei matrice:

[tex]B^{-1}=\frac{1}{detB}\cdot B^*[/tex]

detB=2×0-3×1=-3

Transpusa matricei B

[tex]B^t=\left(\begin{array}{ccc}2&3\\1&0\\\end{array}\right)[/tex]

[tex]B^*=\left(\begin{array}{ccc}0&-1\\-3&2\\\end{array}\right)[/tex]

[tex](-1)^{i+j}[/tex]× elementul care ramane dupa ce taiem linia si coloana pe care se afla termenul respectiv

[tex]B^{-1}=\frac{1}{-3} \left(\begin{array}{ccc}0&-1\\-3&2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}0&\frac{1}{3} \\1&-\frac{2}{3} \\\end{array}\right)[/tex]

6)

x=1

B·X·C=A

[tex]C=\left(\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right)=I_2\\\\B\cdot X\cdot C=A\\\\B\cdot X=A\\\\X=B^{-1}\cdot A[/tex]

[tex]B^{-1}\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}0&\frac{1}{3} \\1&-\frac{2}{3} \\\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2&0 \\3&1 \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{3} \\0&-\frac{2}{3} \\\end{array}\right)[/tex]

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1857848

#BAC2022

#SPJ4

Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!


Ze Learners: Alte intrebari