[tex]f(x)=x^{2}-3 x+2[/tex]
a)
[tex]\int\limits^1_0 {x^2-3x+2} \, dx =\int\limits^1_0 x^2\ dx-\int\limits^1_0 3x\ dx+\int\limits^1_0 2\ dx=\frac{x^3}{3}|_0^1-\frac{3x^2}{2}|_0^1+2x|_0^1=\frac{1}{3} -\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}[/tex]
(vezi tabel de integrale)
b)
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{x^2-3x+2}{x}lnx } \, dx[/tex]
O desfacem in doua integrale
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{x^2-3x}{x}lnx } \, dx+\int\limits^e_1 {\frac{2}{x}lnx } \, dx[/tex]
Le luam pe rand
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{x^2-3x}{x}lnx } \, dx=\int\limits^e_1 {\frac{x(x-3)}{x}lnx } \, dx=\int\limits^e_1 (x-3)lnx\ dx[/tex]
O integram prin parti
[tex]f=lnx\ \ \ \ \ f'=\frac{1}{x} \\\\g'=x-3\ \ \ \ \ g=\frac{x^2}{2}-3x=\frac{x(x-6)}{2} \\[/tex]
[tex]\int\limits^e_1 (x-3)lnx\ dx=\frac{x(x-6)}{2}lnx\ |_1^e -\frac{1}{2} \int\limits^e_1x-6\ dx=\frac{x(x-6)}{2}lnx\ |_1^e -\frac{1}{2}(\frac{x^2}{2}-6x)|_1^e=\frac{e(e-6)}{2}-\frac{1}{2}(\frac{e^2}{2}-6e-\frac{1}{2}+6)=\\\\ =\frac{2e^2-12e-e^2+12e+1-12}{4}=\frac{e^2-11}{4}[/tex]
Luam cea de-a doua integrala
[tex]\int\limits^e_1 {\frac{2}{x}lnx } \, dx=\int\limits^e_1 {2(lnx)'lnx } \, dx=ln^2x|_1^e=ln^2e-ln^21=1[/tex]
Integrala noastra din cerinta ne va da:
[tex]\frac{e^2-11}{4}+1=\frac{e^2-7}{4}[/tex]
c)
[tex]\int\limits^a_1 {(x^2-3x+2)e^x} \, dx[/tex]
Desfacem in 3 integrale si le calculam separat:
[tex]\int\limits^a_1 {x^2e^x} \, dx[/tex]
[tex]f=x^2\ \ \ \ \ f'=2x\\\\g'=e^x\ \ \ \ g=e^x[/tex]
[tex]\int\limits^a_1 {x^2e^x} \, dx=x^2e^x|_1^a-\int\limits^a_1 {2xe^x} \, dx[/tex]
[tex]\int\limits^a_1 {(x^2-3x+2)e^x} \, dx=x^2e^x|_1^a-\int\limits^a_1 {2xe^x} \, dx-\int\limits^a_1 {3xe^x} \, dx+\int\limits^a_1 {2e^x} \, dx=a^2e^a-e-\int\limits^a_1 {5xe^x} \, dx+2e^a-2e[/tex]
[tex]\int\limits^a_1 {5xe^x} \, dx=5xe^x|_1^a-\int\limits^a_1 {5e^x} \, dx =5ae^a-5e-5e^a+5e=5ae^a-5e^a[/tex]
[tex]\int\limits^a_1 {(x^2-3x+2)e^x} \, dx=a^2e^a-e-(5ae^a-5e^a)+2e^a-2e=e^a(a^2-5a+7)-3e[/tex]
[tex]e^a(a^2-5a+7)-3e=e^a-3e\\\\a^2-5a+7=1\\\\a^2-5a+6=0\\\\[/tex]
Δ=25-24=1
a=3
a=2
Un exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/956588
#BAC2022
