Răspuns :
[tex]f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x-2}[/tex]
a)
Calculam f'(x) dupa formula de derivare [tex](\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/tex]
[tex]f(x)=\frac{2(x-1)(x-2)-(x-1)^2}{(x-2)^2}=f(x)=\frac{2x^2-6x+4-x^2+2x-1}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-1)^2} =\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}[/tex]
b)
Ecuatia tangentei in punctul a
y-f(a)=f'(a)(x-a)
Ecuatia tangentei in x=3
y-f(3)=f'(3)(x-3)
[tex]f(3)=\frac{4}{1} =4\\\\f'(3)=0\\\\[/tex]
y-4=0(x-3)
y-4=0
y=4
c)
Pentru a demonstra ca functia f' este crescatoare pe un interval, va trebui sa facem monotonia functiei f'
Monotonia functiei f'
f''(x)=0
[tex]f''(x)=\frac{(2x-4)(x-2)^2-2(x^2-4x+3)(x-2)}{(x-2)^4} =\frac{2(x-2)[(x-2)^2-x^2+4x-3]}{(x-2)^4} \\\\f''(x)=\frac{2(x^2-4x+4-x^2+4x-3)}{(x-2)^3}=\frac{2}{(x-2)^3}[/tex]
x>2⇒x-2>0⇒ [tex]\frac{2}{(x-2)^3} > 0[/tex]⇒ f este crescatoare pe (2,+∞)
Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2582000
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!