👤

Se consideră funcţia [tex]$f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\ln x$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] a) Arătaţi că [tex]$\int_{1}^{e} f^{\prime}(x) d x=1$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] b) Calculați [tex]$\int_{1}^{e} \frac{f^{2}(x)}{x} d x$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Determinaţi numărul real [tex]$p, p\ \textgreater \ 1$[/tex], ştiind că [tex]$\int_{1}^{p} x f(x) d x=\frac{p^{2}}{2} \ln p-\frac{3}{4}$[/tex].


Răspuns :

[tex]f(x)=\ln x[/tex]

a)

[tex]\int\limits^e_1 {f'(x)} \, dx =f(x)|_1^e\\\\\int\limits^e_1 {\frac{1}{x}}\ dx=lnx|_1^e=lne-ln1=1-0=1[/tex]

b)

[tex]\int\limits^e_1 {\frac{ln^2x}{x} } \, dx =\int\limits^e_1 {ln^2x\cdot\frac{1}{x} } \, dx[/tex]

Il scriem pe [tex]\frac{1}{x}=(lnx)'[/tex]

[tex]\int\limits^e_1 {ln^2x\cdot(lnx)'} \, dx =\frac{1}{3} ln^3x|_1^e=\frac{1}{3}[/tex]

c)

Mai intai calculam urmatoarea integrala:

[tex]\int\limits^p_1 {xlnx} \, dx[/tex]

O calculam prin integrarea prin parti

[tex]f=lnx\ \ \ \ \ \ \ f'=\frac{1}{x} \\\\g'=x\ \ \ \ \ \ \ \ g=\frac{x^2}{2} \\\\\int\limits^p_1 {xlnx} \, dx =\frac{x^2}{2}lnx|_1^p-\int\limits^p_1 {\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} } \, dx =\frac{x^2}{2}lnx|_1^p-\int\limits^p_1 {\frac{x}{2} } \, dx =\\\\=\frac{x^2}{2}lnx|_1^p-\int\limits^p_1 {\frac{x}{2} } \, dx =\frac{x^2}{2}lnx|_1^p-\frac{x^2}{4}|_1^p=\frac{p^2}{2}lnp-0-\frac{p^2}{4}+\frac{1}{4}[/tex]

Apoi egalam:

[tex]\frac{p^2}{2}lnp-0-\frac{p^2}{4}+\frac{1}{4} =\frac{p^2}{2}lnp-\frac{3}{4} \\\\\\\\\frac{p^2}{4}=\frac{4}{4} =1\\\\p^2=4\\\\p=-2 < 1\ NU\\\\p=2[/tex]

p=2 este solutia finala

Un exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/5727603

#BAC2022

#SPJ4

Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!


Ze Learners: Alte intrebari