👤
a fost răspuns

Se consideră matricea [tex]$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right)$[/tex] și sistemul de ecuații [tex]$\left\{\begin{array}{c}2 x+a y+z=1 \\ (a-3) x+a y+z=2 a-1, \\ 3 x+(2 a-1) y+z=1\end{array}\right.$[/tex] unde [tex]$a$[/tex] este număr real.

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că det [tex]$(A(0))=5$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care sistemul de ecuații este compatibil determinat.

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] c) Determinați numărul real [tex]$a$[/tex], știind că sistemul de ecuații are soluție unică [tex]$\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$[/tex] şi [tex]$x_{0}, y_{0}$[/tex] și [tex]$z_{0}$[/tex] sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Răspuns :

[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right)[/tex]

a)

Calculam det(A(0)), inlocuind pe a cu 0 si adaugand primele doua linii ale determinantului:

[tex]det(A(0))=\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right|[/tex]

                       2      0    1

                      -3      0    1

det(A(0))=(0+3+0)-(0-2+0)=3+2=5

b)

Sistemul este compatibil determinat daca det(A(a))≠0

[tex]det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|[/tex]

                         2          a        1

                      a-3          a        1

det(A(a))=[2a+(a-3)(2a-1)+3a]-(3a+4a-2+a²-3a)=2a+2a²-7a+3a+3-4a+2-a²=a²-6a+5

a²-6a+5≠0

Δ=36-4×5=16

[tex]a\neq \frac{6+4}{2} \neq 5\\\\a\neq \frac{6-4}{2} \neq 1[/tex]

a∈R\{1,5}                      

c)

Vom rezolva prin metoda lui Cramer

Notam determinantul sistemului cu Δ

[tex]\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|=a^2-6a+5=(a-1)(a-5)[/tex]

Formam [tex]\Delta_x[/tex], inlocuind coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi

[tex]\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ 2a-1 & a & 1 \\ 1 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|[/tex]

                1            a       1

            2a-1           a       1

[tex]\Delta_x=(a+4a^2-4a+1+a)-(a+2a-1+2a^2-a)=2a^2-4a+2=2(a-1)^2[/tex]

[tex]x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =\frac{2(a-1)}{a-5}[/tex]

Formam [tex]\Delta_y[/tex], inlocuind coloana coeficientilor lui y cu coloana termenilor liberi

[tex]\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ a-3 & 2a-1 & 1 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right|[/tex]

              2           1        1

           a-3        2a-1      1

[tex]\Delta_y=(4a-2+a-3+3)-(6a-3+2+a-3)=-2a+2=-2(a-1)\\\\y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-2}{a-5}[/tex]

Formam [tex]\Delta_z[/tex], inlocuind coloana coeficientilor lui z cu coloana termenilor liberi

[tex]\Delta_z=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 2a-1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|\\[/tex]

              2           a           1

            a-3          a        2a-1

[tex]\Delta_z=(2a+2a^2-7a+3+6a^2-3a)-(3a+8a^2-8a+2+a^2-3a)=-a^2+1=-(a-1)(a+1)\\\\z=\frac{\Delta_z}{\Delta} =-\frac{a+1}{a-5}[/tex]

x,y,z sunt in progresie aritmetica, adica 2y=x+z

[tex]-\frac{4}{a-5} =\frac{2(a-1)}{a-5}-\frac{a+1}{a-5}\\\\ -4=2a-2-a-1\\\\ -1=a[/tex]

a=-1

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3898882

#BAC2022

#SPJ4

Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!


Ze Learners: Alte intrebari