Explicație pas cu pas:
[tex]I = \int {e}^{ - x} \sin(x)dx[/tex]
[tex]\int fg' = fg - \int f'g[/tex]
[tex]f = \sin(x); \: \: g' = e^{ - x} [/tex]
și
[tex]f' = \cos(x); \: \: g = - e^{ - x} [/tex]
=>
[tex]I = - {e}^{ - x} \sin(x) - \int - {e}^{ - x} \cos(x) dx [/tex]
[tex]f = \cos(x); \: \: g' = - e^{ - x} [/tex]
și
[tex]f' = - \sin(x); \: \: g = e^{ - x} [/tex]
=>
[tex]I = - {e}^{ - x} \sin(x) - ({e}^{ - x} \cos(x) - \int - {e}^{ - x} \sin(x) dx ) \\= - {e}^{ - x} \sin(x) - ({e}^{ - x} \cos(x) + \int {e}^{ - x} \sin(x) dx )\\= - {e}^{ - x} \sin(x) - {e}^{ - x} \cos(x) - I[/tex]
=>
[tex]2I = - {e}^{ - x} \sin(x) - {e}^{ - x} \cos(x) \\ I = \frac{ - {e}^{ - x} \sin(x) - {e}^{ - x} \cos(x)}{2} [/tex]
=>
[tex]\int {e}^{ - x} \sin(x)dx = \\ = - \frac{{e}^{ - x} \sin(x) + {e}^{ - x} \cos(x)}{2} + C[/tex]
