Răspuns :
[tex]f(x)=x(x+2) e^{x}[/tex]
a)
[tex]\int\limits^3_0 {\frac{x(x+2)e^x}{e^x} } \, dx =\int\limits^3_0 {x(x+2)} \, dx =\int\limits^3_0 {x^2+2x} \, dx[/tex]
Desfacem in doua integrale si obtinem:
[tex]\int\limits^3_0 {x^2} \, dx +\int\limits^3_0 {2x} \, dx=\frac{x^3}{3} |_0^3+x^2|_0^3=9+9=18[/tex]
b)
[tex]\int\limits^1_0 {x(x+2) e^{x}} \, dx =\int\limits^1_0 {x^2e^x+2xe^x} \, dx[/tex]
Desfacem in doua integrale si obtinem:
[tex]\int\limits^1_0 {x^2e^x+2xe^x} \, dx =\int\limits^1_0 {x^2e^x} \, dx +\int\limits^1_0 {2xe^x} \, dx[/tex]
Le luam separat integralele si calculam:
[tex]\int\limits^1_0 {x^2e^x} \, dx =I[/tex]
Am notat integrala noastra cu I si o vom rezolva prin integrare prin parti
f=x² f'=2x
g'=eˣ g=eˣ
[tex]I=x^2e^x|_0^1-2\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx[/tex]
Ne intorcem la integrala noastra si inlocuim ce am obtinut mai sus
[tex]\int\limits^1_0 {f(x)} \, dx =x^2e^x|_0^1-2\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx +2\int\limits^1_0 {xe^x} \, dx =x^2e^x|_0^1=e[/tex]
c)
[tex]\int\limits^n_1 {\frac{(x+1)e^x}{x(x+2)e^x} } \, dx =\int\limits^n_1 {\frac{x+1}{x(x+2)} } \, dx=\int\limits^n_1 {\frac{x+1}{x^2+2x} } \, dx[/tex]
Observam ca (x²+2x)'=2x+2=2(x+1)
Vom adauga un 2 si il "vom da inapoi"
[tex]\frac{1}{2} \int\limits^n_1 {\frac{2(x+1)}{x^2+2x} } \, dx=\frac{1}{2}ln(x^2+2x)|_1^n=\frac{ln(n^2+2n)}{2}-\frac{ln3}{2}[/tex]
[tex]\frac{ln(n^2+2n)}{2}-\frac{ln3}{2}=\frac{3ln2}{2}[/tex]
[tex]ln\frac{n^2+2n}{3}=ln2^3\\\\ \frac{n^2+2n}{3}=8\\\\n^2+2n-24=0[/tex]
Δ=4+96=100
[tex]n=\frac{-2+10}{2} =4[/tex]
n=4
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1021443
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!