Explicație pas cu pas:
a) Să se afle coordonatele vârfurilor triunghiului determinat de d1, d2, d3:
[tex]d1: x - y + 3 = 0 => y = x + 3[/tex]
[tex]d2: 5x - y - 21 = 0 => y = 5x - 21[/tex]
[tex]d3: x + 3y - 1 = 0 => y = - \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}[/tex]
d1 & d2:
[tex]x + 3 = 5x - 21 \\ 4x = 24 = > x = 6 \\ y = 6 + 3 = > y = 9 \\ = > A(6,9)[/tex]
d2 & d3:
[tex]5x - 21 = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \\ 15x - 63 = - x + 1 \\ 16x = 64 = > x = 4 \\ y = 5 \times 4 - 21 = > y = - 1 \\ = > B(4,-1)[/tex]
d1 & d3:
[tex]x + 3 = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \\ 3x + 9 = - x + 1 \\ 4x = - 8 = > x = - 2 \\ y = - 2 + 3 = > y = 1 \\ = > C( - 2,1)[/tex]
b) Să se scrie ecuațiile medianelor triunghiului determinat de dreptele d1, d2, d3:
mijlocul laturii AB:
[tex]( \frac{6 + 4}{2} ; \frac{9 + ( - 1)}{2} ) = > M(5;4)[/tex]
ecuația medianei CM:
[tex]\frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - ( - 2)}{5 - ( - 2)} \\ \frac{y - 1}{3} = \frac{x + 2}{7} \\ 7y - 7 = 3x + 6 \\ 7y = 3x + 13 = > y = \frac{3}{7}x + \frac{13}{7}[/tex]
mijlocul laturii BC:
[tex]( \frac{4 + ( - 2)}{2} ; \frac{( - 1 + 1)}{2} ) = > N(1;0)[/tex]
ecuația medianei AN:
[tex]\frac{y - 9}{0 - 9} = \frac{x - 6}{1 - 6} \\ \frac{y - 9}{ - 9} = \frac{x - 6}{ - 5} \\ 5y - 45 = 9x - 54 \\ 5y = 9x - 9 = > y = \frac{9}{5}x - \frac{9}{5}[/tex]
mijlocul laturii AC:
[tex]( \frac{6 + (- 2)}{2} ; \frac{9 + 1}{2} ) = > P(2;5)[/tex]
ecuația medianei BP:
[tex]\frac{y - ( - 1)}{5 - ( - 1)} = \frac{x - 4}{2 - 4} \\ \frac{y + 1}{6} = \frac{x - 4}{ - 2} \\ - 2y - 2 = 6x - 24 \\ - 2y = 6x - 22 = > y = - 3x + 11[/tex]
c) Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului determinat de dreptele d1, d2, d3:
centrul de greutate al triunghiului se află la intersecția medianelor:
AN & BP:
[tex]\frac{9}{5}x - \frac{9}{5} = - 3x + 11 \\ 9x - 9 = - 15x + 55 \\ 24x = 64 = > x = \frac{8}{3} [/tex]
[tex]y = - 3 \times \frac{8}{3} + 11 = > y = 3[/tex]
[tex]=>G(\frac{8}{3} ; 3)[/tex]
