Explicație pas cu pas:
[tex]E(x) = x {(x - 2)}^{2} - (x - 5) \times {x}^{2} - 5x + 1 = x( {x}^{2} - 4x + 4) - {x}^{3} + 5 {x}^{2} - 5x + 1 = {x}^{3} - 4{x}^{2} + 4x - {x}^{3} + 5{x}^{2} - 5x + 1 = {x}^{2} - x + 1 = x(x - 1) + 1 [/tex]
a)
[tex]E(n) = n(n - 1) + 1[/tex]
• produsul a două numere întregi consecutive este întotdeauna un număr par:
=> n(n - 1) este un număr par
• adunarea unui număr par cu un număr impar este un număr impar
=> E(n) este un număr întreg impar oricare ar fi numărul întreg n
b)
[tex]E( - x) = (- x)^{2} - ( - x) + 1 = {x}^{2} + x + 1 [/tex]
[tex]E(x) \times E( - x) = ({x}^{2} + 1 - x)({x}^{2} + 1 + x) = {({x}^{2} + 1)}^{2} - {x}^{2} = {x}^{4} + 2{x}^{2} + 1 - {x}^{2} = {x}^{4} + {x}^{2} + 1[/tex]
[tex]{x}^{4} + {x}^{2}\geqslant0[/tex]
=>
[tex]E(x) \times E( - x) \geqslant 1[/tex]
pentru orice număr real x
