Sa se arate ca:
a)∡ABM≡∡ACN
b)ΔADE este isoscel
c)AG⊥BC
d)BC║DE
Rezolvare:
a) Studiem ΔABM si ΔACN
AB=AC (din ipoteza)
∡A unghi comun
AM=AN (M este mijlocul lui AC si N este mijlocul lui AB)
⇒L.U.L ΔABM≡ΔACN⇒ ∡ABM≡∡ACN
b) ΔABM≡ΔACN⇒ BM=CN
Dar BM=BD si CN=CE ⇒ BD=CE=BM=CN
∡ABC=∡ACB (din ipoteza, ΔABC isoscel)
∡ABM=∡ACN (demonstrat la punctul a) (1)
∡ABD=180-∡ABM (2)
∡ACE=180-∡ACN (3)
Din (1) (2) si (3)⇒∡ABD=∡ACE
Studiem ΔABD si ΔACE
AB=AC
BD=CE
∡ABD=∡ACE ⇒L.U.L ⇒ΔABD≡ΔACE⇒ AD=AE⇒ ΔADE isoscel
c) fie AP mediana din A, P∈BC
ΔABC este isocel, atunci AP va fi si inaltime, AP⊥BC (1)
AP∩BM∩CN={G} ⇒ G∈AP (2)
Din (1) si (2) ⇒ AG⊥BC
d) Centrul de greutate se afla la doua treimi de varf si o treime de baza
[tex]BG=\frac{2BM}{3}\\\\ CG=\frac{2CN}{3}[/tex]
Dar CN=BM⇒ BG=CG
BM=BD si CN=CE (din ipoteza) ⇒
[tex]BG=\frac{2BD}{3}\\\\ CG=\frac{2CE}{3}[/tex]
Ne vom folosi de Reciproca Teoremei lui Thales (daca avem un sir de rapoarte egale, atunci bazele sunt paralele)
[tex]\frac{BG}{BD} =\frac{GC}{CE} \\\\\frac{\frac{2BD}{3} }{BD} =\frac{\frac{2CE}{3} }{CE} \\\\\frac{2}{3} =\frac{2}{3} \ Adevarat[/tex]⇒ BC║DE
Un alt exercitiu cu Teorema lui Thales gasesti aici: https://brainly.ro/tema/5522522
#SPJ1
