Explicație pas cu pas:
[tex]f(x) = {x}^{3} - 3 {x}^{2}[/tex]
a) Funcția este derivabilă pe R, fiind o compunere de funcții derivabile pe R.
Derivata funcției este:
[tex]f'(x) = ({x}^{3} - 3 {x}^{2})' = ({x}^{3})' - 3({x}^{2} )' => f'(x) = 3 {x}^{2} - 6x[/tex]
b)
[tex]f(1) = 1 - 3 = - 2[/tex]
[tex]lim_{x->1}(\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}) = lim_{x->1}(\frac{{x}^{3} - 3{x}^{2} - (- 2)}{x - 1}) = lim_{x->1}(\frac{{x}^{3} - 3{x}^{2} + 2}{x - 1}) = lim_{x->1}(\frac{(x - 1)({x}^{2} - 2x - 2)}{x - 1})= lim_{x->1}({x}^{2} - 2x - 2) = 1 - 2 - 2 = - 3[/tex]
c) Ecuația tangentei într-un punct x₀:
[tex]y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)[/tex]
pentru x₀ = 2, avem:
[tex]f(2) = {2}^{3} - 3 \times {2}^{2} = 8 - 12 = - 4 \\ f'(2) = 3 \times {2}^{2} - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0[/tex]
înlocuim:
[tex]y - f(2) = f'(2)(x - 2) \\ y - ( - 4) = 0 \times (x - 2) \\ y + 4 = 0 = > y = - 4[/tex]
=> Ecuația tangentei în x₀ = 2:
[tex]y = - 4[/tex]
d) Domeniul de definiție al funcției f' este R.
Rezolvăm ecuația f'(x) = 0 și aflăm rădăcinile:
[tex]f'(x) = 0 = > 3 {x}^{2} - 6x = 0 \\ 3x(x - 2) = 0 = > x_1 = 0 \: si \: x_2 = 2[/tex]
Calculăm:
[tex]f(x_1) = f0) = 0 \\ f(x_2) = f(2) = - 4[/tex]
[tex]lim_{x->- \infty}(f(x))= - \infty \\ lim_{x-> + \infty}(f(x))= + \infty[/tex]
Întocmim tabelul de variație al acestei funcții:
• f' > 0, -∞ < x ≤ 0 => f este crescătoare pe intervalul: (-∞; 0]
• f' < 0, 0 ≤ x ≤ 2 => f este descrescătoare pe intervalul: [0; 2]
• f' > 0, x ≤ 2 < +∞ => f este crescătoare pe intervalul: [2; +∞)
În punctele de extrem, prima derivată se anulează și schimbă semnul.
Deoarece f(0) > f(2), vom avea că punctul x = 0 este punct de maxim local pentru funcția dată cu valoarea maximă 0, iar punctul x = 2 este punct de minim local cu cu valoarea minimă -4.
=> Punctele de extrem sunt: maxim (0; 0) și minim (2; -4)
e) Derivata a doua a funcției f este:
[tex]f''(x) = (f'(x)) = (3{x}^{2} - 6x)' = 3({x}^{2})' - 6(x)' = 6x - 6 = 6(x - 1)[/tex]
Domeniul de definiție al funcției f'' este R.
Rezolvăm ecuația f''(x) = 0 și aflăm rădăcinile:
[tex]f''(x) = 0 = > 6(x - 1) = 0 = > x = 1[/tex]
Calculăm:
[tex]f(1) = 1 - 3 = - 2[/tex]
Întocmim tabelul de variație al acestei funcții:
f" < 0, -∞ < x ≤ 1 => f e concavă pe intervalul: (-∞; 1]
f" > 0, 1 ≤ x< +∞ => f e convexă pe intervalul: [1; +∞)
În punctele de inflexiune ale unui interval, derivata a doua a unei funcții se anulează și schimbă semnul.
=> Punctul (1; -2) este punct de inflexiune.
