[tex] {}^{x + 1)} \frac{x}{x - 1} + {}^{x - 1)} \frac{x}{x + 1} \geqslant 0 \\ \\ \frac{x( x + 1) + x(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \geqslant 0 \\ \\ \frac{x {}^{2} + x + {x}^{2} - x}{x {}^{2} - 1} \geqslant 0 \\ \frac{2x {}^{2} }{x {}^{2} - 1} \geqslant 0[/tex]
Avem două cazuri
- 1) și numărătorul și numitorul sunt mai mici sau egale cu 0
[tex] \frac{ - }{ - } = + \geqslant 0[/tex]
{2x²<=0
{x²-1<=0
2x²<=0 | :2
x²<=0
• x²<0 FALS un număr la puterea a doua NU poate fi negativ
• x²=0 → x=0
x=0 verifică și a doua relație
x²-1<=0
0²-1<=0
-1<=0 →x=0 soluție a ecuației
S1={0}
- 2) și numitorul și numărătorul sunt mai mari sau egale cu 0
[tex] \frac{ + }{ + } = + \geqslant 0[/tex]
{2x²>=0
{x²-1>=0
2x²>=0 |:2
x²>=0 "A" pentru orice x real
x aparține R
x²-1>=0
x²>=1
x>✓1
|x|>1
-1>x>1
→x apartine (-infinit;-1] U [1;+infinit)
S2=R intersectat cu (-infinit;-1]U[1;+infinit)
S2=(-infinit;-1]U[1;+infinit)
Sf=S1 U S2 = {0} U (-infinit;-1]U[1;+infinit)
Sf=(-infinit;-1]U[1;+infinit)
