Răspuns:
Explicație pas cu pas:
[tex]f(x)=\frac{x^{2} }{x+1}[/tex]
Studiem monotonia
[tex]f'(x)=\frac{2x(x+1)-x^{2} }{(x+1)^{2} } =\frac{2x^{2} +2x-x^{2} }{(x+1)^{2} }=\frac{x^{2} +2x }{(x+1)^{2} }[/tex]
f'(x)=0⇒ x²+2x=0
x(x+2)=0
x=0 si x=-2
facem tabel semn
x |-∞ -2 0 +∞|
f'(x) | + + + + 0 - - - - 0 + + + +
f(x) | ↑ ↑ f(-2) ↓ ↓ f(0) ↑ ↑
-4 0 puncte de extrem
f(x) crescatoare pe (-∞,-2)∪(0,+∞)
f(x) descrescatoare pe (-2,0)
Studiem convexitate/concavitate
f''(x)=0
[tex]f''(x)=\frac{(2x+2)(x+1)^{2} -2(x^{2} +2x)(x+1)}{(x+1)^{4} }[/tex]
[tex]f''(x)=\frac{(2x+2)(x^{2} +2x+1) -2x^{3} -2x^{2}- 4x^{2} -4x)}{(x+1)^{4} }[/tex]
[tex]f''(x)=\frac{2x^{3}+4x^{2} +2x+2x^{2} +4x+2 -2x^{3} -2x^{2} -4x^{2} -4x}{(x+1)^{4} }[/tex]
[tex]f''(x)=\frac{2x+2}{(x+1)^{4} }=0[/tex]
2x+2=0
x=-1
facem tabel semn
x |-∞ -1 +∞
f''(x) |- - - - - - - - - 0+ + + + + + +
f(x) | concava f(-1) convexa
nu avem punct de inflexiune pentru ca numitorul ar fi 0 si nu se poate
