16. Pentru ne N se consideră numerele: n + 5, n +9, n + 11, n + 21 şi n + 29.

a) Arătaţi că există o infinitate de numere naturale n pentru care numerele n + 5, n + 9,

n+11, n+21 şi n + 29 sunt numere compuse.

b) Arătaţi că există cel puţin două numere naturale n pentru care numerele n + 5, n + 9,

n+11, n+21 şi n + 29 sunt simultan numere prime.

Rezolvare: Cazul n impar, n = 2k + 1 (k = N). Atunci n + 5 = (2k + 1) + 5 = 2k+6=2. (k+3),

deci numărul este divizibil cu 2 şi prin urmare este compus. La fel se arată că, pentru n = 2k + 1

(k = N), numerele n +9, n+11, n+21 şi n+ 29 sunt compuse.

Cazul n par, n = 2k (k = N). Pentru k = 1, deoarece n = 2, rezultă numerele 7, 13, 23 şi 31 care

sunt simultan prime. Pentru k = 4, deoarece n = 8, rezultă numerele 13, 17, 19 şi 37 care sunt

simultan prime.