a)
[tex]\displaystyle \overline{abc} \cdot 876 = \overline{xyzabc}[/tex]
[tex]\displaystyle 876\cdot\overline{abc} = \overline{xyz000}+\overline{abc}[/tex]
[tex]\displaystyle 876\cdot\overline{abc} = 1000\cdot\overline{xyz}+\overline{abc}[/tex]
[tex]\displaystyle 875\cdot\overline{abc} = 1000\cdot\overline{xyz} \ \ \ |:125[/tex]
[tex]\displaystyle 7\cdot\overline{abc} = 8\cdot\overline{xyz}[/tex]
[tex]\displaystyle $\Rightarrow$ 7\cdot\overline{abc} \in M_{8} \ \ $\Leftrightarrow$ \overline{abc}\in M_{8} \ \ $\Leftrightarrow$ \overline{abc} \ \vdots\ 8\\si\ 8\cdot\overline{xyz}\in M_{7} \ \ $\Leftrightarrow$ \overline{xyz}\in M_{7} \ \ $\Leftrightarrow$ \overline{xyz} \ \vdots\ 7[/tex]
b)
din demonstrația precedentă rezultă că putem scrie:
[tex]\displaystyle 7\cdot\overline{abc} = 8\cdot\overline{xyz} = 7\cdot8\cdot n,\ unde\ n\in \ $\mathbb{N}$[/tex], unde n ∈ N
[tex]\displaystyle 100\leq \overline{abc}\leq 999 \ $\Rightarrow$ 700\leq 7\cdot \overline{abc}\leq 6993[/tex]
[tex]\displaystyle 100\leq \overline{xyz}\leq 999 \ $\Rightarrow$ 800\leq 8\cdot \overline{xyz}\leq 7992[/tex]
⇒ 800 ≤ 7 · 8 · n ≤ 6993 | : 56
14,2 ≤ n ≤ 124,8
deoarece n ∈ N ⇒ 15 ≤ n ≤ 124
⇒ n poate lua valori între 15 și 124 inclusiv, adică 124 - 14 = 110 posibilități
⇒ 110 numere de forma [tex]\displaystyle \overline{abc}[/tex] îndeplinesc condiția [tex]\displaystyle \overline{abc} \cdot 876 = \overline{xyzabc}[/tex]
Verificare cu valori ale lui n și determinarea unor numere [tex]\displaystyle \overline{abc}[/tex] și [tex]\displaystyle \overline{xyz}[/tex] în foto atașată.
